2022年AP考试备考干货数学篇:AP微积分——夹逼准则与第一重要极限有什么关系?

AP微积分的学习初期,同学们经常会接触大量的求极限的方法。其中包括:直接带入,先约分再代入,有理函数求极限(Limits of Rational Function),两个重要极限(Two Important Limits),夹逼准则(三明治定理,Squeeze Theorem)以及洛必达法则。而其中夹逼准则无论是在平时的练习或是考试中都是比较冷门的存在。甚至有一些同学即便考完了AP微积分的知识,没怎么练习它,但是依然不妨碍考试取得了五分。

其实夹逼准则在AP微积分考试中可以算作是“幕后的英雄”,它并不直接出现,但其实在支撑着其他的理论,以至于我们在使用的过程中反倒没有发现它隐隐出现在题目中。接下来就带同学们重新认识一下夹逼准则。

夹逼准则的内容

在我们学习微积分的时候总会流传这样一句话:比你帅的人有对象,比你丑的人也有对象,那么根据夹逼准则,你也应该有对象。

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虽然这只是一句玩笑话,但是它却涵盖了夹逼准则的核心内容。夹逼准则的内容为:

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即三个函数存在着如上的大小关系,我们能够计算g(x)与h(x)的极限并且二者的极限都为A,则中间函数f(x)的极限也为A。这就相当于通过两边的限制使得f(x)只能被夹在A这个位置,而用函数图像可以更好地理解这一个结论。f(x)在两个图像之间,而当两个函数g(x)与h(x)在某点的极限相等时,相应的f(x)的极限也与它们相等。

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f(x),g(x),h(x)函数示意图

从原理上来理解,夹逼准则是易懂而直白的,那么它会应用在什么样的极限问题上呢?

夹逼准则与第一个重要极限

在没有接触洛必达法则之前,有一个比较好用的极限公式专门用以求解三角函数类的极限,形如:图片,我们称之为第一个重要极限,并且伴随着题目的难度的变化,也延伸出了图片。但是这个极限因何而成立呢?

它其实来源于夹逼准则,我们可以尝试用利用夹逼准则对其进行证明。首先根据在三角函数部分学习过的单位圆内容,作如下图。假设∠CAB=x,因为AC=AB=1,则CD=sinx,而EB=tanx。而利用弧度制下弦长计算公式CB=x。根据单位圆上的几何关系,则必有CD≤CB≤EB,则可以得到不等式关系sinx≤x≤tanx。因为三者存在这一大小关系,对三个数值取倒数,则大小关系变为反方向,即为图片。(注:此处只研究三者数值均为正)

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单位圆与三角函数

回到第一个重要极限的内容,将刚才得到的不等式同乘sinx,则必有图片,因此图片。当x趋近于0时,cosx趋近于1,因此第一个重要极限图片成立。

其实在实际练习中可以自由的使用第一个重要极限并不是一个无脑的结论,它是夹逼准则的应用的发散。

夹逼准则的其他应用

夹逼准则在微积分的求极限中是一个比较常用的方式,但在AP微积分中对于这一知识点的考察相对比较简单。除了第一个重要极限外,其也可以应用在其他求极限运算中,例如:

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根据题干可以明确看到三个函数之间的大小关系,想要求解u(x)的极限可以利用其两边的数值的极限进行夹逼。左边极限图片,右边极限图片,因此可以根据夹逼准则得到图片

再比如:

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因为有明显的大小关系,可以比较快的识别出可以利用两边的极限进行夹逼处理,在这道题中左右极限均为1/2,因此最终待求的极限也是1/2。

根据上述题目,我们也会发现AP微积分考试中的夹逼准则考察并不算难,大纲中对于夹逼准则的掌握要求是了解夹逼准则的基本原理,并进行相对简单的函数求解问题。当然这些考法不是夹逼准则的全部面貌,在以后的数学学习中,如果同学们有机会深入接触高等数学的知识,还会进行更难的题型的学习。

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大纲对夹逼准则的要求

在实际考试中,它主要以第一个重要极限的形式进行一些考察,即便对其进行直接的考察,也会出现明显的特征:即会给定三个函数并表达出它们的大小关系,例如2019年AB真题第六题d问,题目明确给定了g(x)≤k(x)≤h(x),是考察夹逼准则的题目,因此对夹逼准则考察整体不会太难。但它无疑是幕后的英雄,正是因为它才出现了一些便捷的极限求解方式。

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真题2019 AB FRQ 6d

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