2022年AP考试备考干货数学篇:AP微积分之美——黎曼和与梯形法VS泰勒级数Taylor Series

给大家带来微积分估值方法中的剩下两种方法,希望通过这一系列的文章,让同学们不仅会解决考题,也能够感受到微积分之美。

黎曼和(Riemann Sum)与梯形法(Trapezoidal Sum)

在学习定积分时,同学们计算定积分的主要工具是牛顿—莱布尼兹公式,即首先求得被积分函数的反导数,然后将积分上限和下限分别代入被积分函数的反导数中计算函数值,最后两个函数值做差的结果就是我们想要的定积分数值。

这种方法虽然好用,但是能够解决的定积分计算问题十分有限。在面对一些很难求得反导数的函数时,我们可以利用黎曼和或者梯形法来近似真正的定积分数值。

 

在AP微积分考试中,主要会考察4种定积分估值的计算方法,我们以图片的图象为例对这4种估计定积分的方法进行解释说明,假设此时我们想找到图片的近似值。

 

左黎曼和(Left Riemann Sum)

首先我们把区间【2,5】分成n等份,每个等份称为子区间(subinterval),每个子区间的长度为图片, 接下来我们选取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高度,每个子区间的长度作为矩形的宽,最后求出所有矩形面积之和即图片的近似值。下面两幅图展示了n取不同数值时,左黎曼的近似效果,此时左黎曼和的数值要小于真正的定积分数值。

 

 

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左黎曼和(n=4)

 

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左黎曼和(n=8)

右黎曼和(Right Riemann Sum)

右黎曼和的计算与左黎曼和的计算方法一样,依然是利用n个子区间通过计算矩形面积之和来近似图片的数值,唯一不同的一点是,此时我们选取每个子区间右端点的函数值作为矩形的高度。下面两幅图展示了n取不同数值时,右黎曼的近似效果,此时右黎曼和的数值要大于真正的定积分数值。

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右黎曼和(n=4)

 

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右黎曼和(n=8)

中点黎曼和(Midpoint Riemann Sum)

顾名思义,中点黎曼和即选择每个子区间的中点所对应的函数值作为矩形的高度,子区间的长度作为矩形的宽,利用矩形面积之和来近似上面定积分的数值。下面两幅图展示了n取不同数值时,中点黎曼的近似效果。

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中点黎曼和(n=4)

 

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中点黎曼和(n=8)

梯形法( Trapezoidal Sum)

此时我们利用每个子区间左右两个端点所对应的函数值分别作为梯形的上底和下底,利用子区间的长度作为梯形的高,此时我们便可以利用n个梯形的面积来近似定积分的数值。下面两幅图展示了n取不同数值时,梯形法的近似效果。

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梯形法(n=4)

 

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梯形法(n=8)

 

通过上面的几组图像,我们会发现,无论使用哪一种方法估计定积分的数值,在一个给定的区间内,子区间分的数量越多,估值的效果就越好,估值的误差越小。

 

接下来,我们一起来看一下2008年BC考试MCQ第8题,感受一下这一知识点在AP考试中是如何考察的。

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题干要求我们利用3个长度相同的子区间,通过梯形法来估计函数的定积分,并求解未知数k的值。此时3个子区间即【0,2】,【2,4】,【4,6】。

我们利用每个子区间左右两个端点所对应的函数值分别作为梯形的上底和下底,利用子区间的长度作为梯形的高,可得到3个梯形面积之和为图片。 题干中又说梯形估值的结果是52,因此图片

 

最后,我们一起来看一下CB官方在AP微积分考试大纲中对该知识点的说明:AP微积分考纲要求我们学会利用左、右和中点黎曼和以及梯形法对定积分的数值进行估算,同时也要能够根据函数图像的特征来判断估计值与定积分的真实值之间的大小关系 。

 

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AP考纲对黎曼和的考点说明

希望上述的内容能够帮助大家掌握这个考点,理解并掌握黎曼和估值的知识点对于我们后续理解定积分的标准定义有着很大的帮助,利用黎曼和估值时所体现出的分割思想也会在利用定积分求图形的面积体积问题中再度出现 。

泰勒级数 Taylor Series

在AP微积分考试中,泰勒级数可以算得上是整套试卷中最难的一个考点,它始终在FRQ的最后一题中占据一席之地,同时在选择题中也能见到它的身影。

同学们经常谈之色变,不知为何要利用这样一个奇怪的公式进行计算。但如果我们能理解它的本质——用曲线近似曲线,你会发现,泰勒级数其实也很优美。

在我们接触过的函数中,多项式函数是一种比较友善的函数,无论我们想计算哪一点的函数值,只需要简单的四则运算便能得到相应的函数值。

但是,也有一些像之类的函数并不友善,他们在很多点处的函数值并不好计算,比如我想计算, 在计算器被发明之前,这件事很难办到。那前人又是如何计算这种不方便手算的函数值呢?用多项式函数近似。

我们以计算为例,展示一下如何用多项式函数近似一个指数函数图片的函数值。我们先从最简单的多项式图片开始着手,这其实就代表着我们要用一条直线来近似函数图片在x靠近0处的函数值。此时,我们最熟悉的选择就是利用图片在x=0这一点的切线来近似x=0.1处的函数值,此时的切线即图片,那么图片

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用一条直线逼近

现在我们想让函数值近似结果的精确度更高一些,此时我们需要对估值使用的多项式进行优化,利用一个二次多项式 图片,即利用抛物线来近似函数图片在x靠近0处的函数值。

这样做的好处是,与直线相比,抛物线与图片的曲线会靠得更近,估值效果会更好。此时在x=0处,我们让图片图片有相同的函数值,一阶导数,二阶导数,这样便会有:图片图片

由于图片图片在x=0处有相同的函数值,一阶导数,二阶导数,此时图片。这样我们便可以得到图片即在x=0附近时,图片的一个很好的近似,此时图片精确度明显要更高一些。

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用一条抛物线逼近

如果我们想让估值的精确度更高的话,就可以继续优化估值使用的多项式,利用三次多项式,四次多项式……n次多项式……这样的话我们便可以得到一个指数函数图片在x=0附近的多项式近似:图片, n的取值越大,估值的精确度就越高。

 

对于一个任意的函数 ,在任意一点x=a附近的函数值都可以利用上述方法估算,此时这个估值的多项式即泰勒级数:

 

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当a=0时,上面的表达式也有另一个名字,麦克劳林级数(Maclaurin Series):

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接下来,我们一起来看一下2016年BC考试MCQ第26题,感受一下这一知识点在AP考试中是如何考察的。

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题目要求我们找到 f(x)的泰勒级数中,这一项的系数,其中的about x=0的含义即公式中的a=0。根据泰勒级数的公式:

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我们需要找到图片这一项,先求出图片的三阶导数图片,把0带入可得:图片 因此图片正确答案选C。

 

最后,我们一起来看一下CB官方在AP微积分考试大纲中对该知识点的说明:AP微积分考纲要求我们能够写出函数的泰勒级数展开式中某一项的系数以及利用泰勒级数的公式对函数值进行估算,同时考试大纲也要求我们能够记住四个常见函数,图片的麦克劳林级数公式。

 

从考试大纲的要求中我们可以发现,虽然泰勒级数是AP微积分中最难的一个知识点,但是只要我们能够理解它的作用并掌握泰勒级数的写法,加以适当的练习,便能够在最终的考试中征服这一难点。

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AP考纲对泰勒级数的考点说明(1)

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AP考纲对泰勒级数的考点说明(2)

 

至此,AP微积分估值法系列文章正式完结,希望本系列文章的内容能够真正地帮助到在AP微积分备考路上的各位同学,各位加油!

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