2022年AP考试备考干货数学篇:估值计算方法之线性化 Linearization和欧拉法 Euler’s Method

进入到微积分领域之后,大家会发现我们所处理的问题还包含了估算问题。比如计算曲边梯形的面积,或者是计算非线性函数的函数值。估值计算在微积分中占据着重要地位,无论是在微分还是积分中,我们都能见到它的身影。

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从本文开始,我们将详细介绍AP微积分考试中会出现的估值方法,希望本系列的文章能够帮助到各位正在备考AP微积分的同学,让大家能够一次掌握AP考试中会遇到的四种估值方法。同时作者也希望能够通过这一系列的文章,让同学们不仅会解决考题,也能够感受到微积分之美。

线性化 Linearization

我们在处理数学问题时,经常会需要对一些实际函数值未知的点进行函数值的估算,比如要求估算 图片。在不使用计算器的情况下,我们很难得到图片的准确数值结果。当然,如果利用计算器则可以直接快速得到答案。

在AP考试中专门有一类题目只要求我们得到近似值,计算器在这类题目中通常也不能使用。这种题实际上是对AP微积分大纲中关于Unit 4导数应用一个重要知识点的考察:即线性化或者叫切线估值法。也是我们这个系列中最基础的第1种估值方法。

现在我们以图片为例,见识一下这个方法的逻辑。首先我们注意到,在x=4.1附近有一个很容易计算出函数值的点x=4,此时f(x)=图片的函数值刚好等于2,而当x=4.1时,函数值显然比x=4处的函数值稍大一点。

那么究竟大多少呢?我们可以在x=4处画一条切线,然后把它延长到x=4.1处,此时,这条切线与函数的图象相当接近。因此我们可以把该切线从x=4到x=4.1增加的高度,添加到x=4时的函数值上,这样我们就可以得到图片的近似值了。

那么具体应该如何计算呢?我们可以先写出x=4时的切线方程,切线的斜率即 f(x)=图片在 x=4处的导数,图片,图片, 此时的切线方程为:图片,即,当x=4.1时,y=2.025。如果我们用计算器验证的话,就会发现,和我们得到的估计值非常接近。

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函数 f(x)与其切线函数g(x)的图象

对于一个一般的函数f(x)而言,如果我们想去估计某点c附近一点x处的函数值f(x) ,便可以利用这样一个公式:f(x)≈f'(c)(x-c)+f(c) 来进行估值计算,其中f'(c)(x-c)+f(c)代表函数在c这一点处的切线。

接下来,我们一起来看一下2012年BC考试FRQ第4题(a)问,感受一下这一知识点在AP考试中是如何考察的。

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首先我们写出在x=1处的切线方程,即 y-f(1)= f '(1)(x -1)→ y=f'(1)(x -1)+f(1),从题目中可以得到数据 f’(1)=8,f(1)=15。因此切线方程为:y=8(x-1)+15 → y=8x+7。x=1.4 在 x=1的附近,此时f(1.4)≈8×1.4 +7 =18.2。

最后,我们一起来看一下CB官方在AP微积分考试大纲中对该知识点的说明:AP微积分考纲要求我们能够利用函数图象上某一点处的切线来估计切点附近的函数值

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AP考纲对线性化考点的说明

同学们只要掌握了求切线的方法,在这一考点上便不会遇到太大的挑战。

欧拉法 Euler’s Method

我们刚刚了解了线性化(linerization)估计函数值的方法,这种方法虽然非常好用,但是也有着一定的局限性。当我们想要估计函数值的点离切点距离较近时,线性化的估值效果较好,但是当两点距离较远时,会使得估计值与真实值之间的差距非常大。

此时我们就需要一种精确度更好的估值方法,就是AP微积分BC大纲中,在Unit 7考察的知识点——欧拉法(Euler’s Method)。它的本质是利用多段折线来近似曲线。用于函数估值时,则便是分了多段的线性估计,原理和线性化是一样的。

欧拉法的具体操作可以分为以下几个步骤:

1. 先把估值的起点和估值的终点之间的距离分成若干长度相等的区间,我们称其为步长(step size);

2. 从估值起点开始,按照步长的划分对函数值进行估算,估算时使用的计算公式与线性化的公式: f(x)≈f(c)+f'(c)(x-c) 十分相似。

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欧拉法步骤示意图

以上图为例,设经过已知点(x₀,y₀)的函数满足微分方程 y'=F(x,y),(注:微分方程可以帮助计算函数在某一点的切线斜率,只需要点的坐标代入计算即可),步长为h,且h一般是由自己设定,是已知数值。

此时,x₁=x₀+h,y₁=y₀+F(x₀,y₀)h,由于F(x₀,y₀)是点 (x₀,y₀) 处的切线斜率,我们在记忆其计算方式时可以把y₁=y₀+F(x₀,y₀)h 类比为 f(x)≈f(c)+f’(c)(x-c)。按照这样的逻辑,我们重复进行计算便可以得到:

x₂=x₁+h,y₂=y₁+F(x₁,y₁)h

x₃=x₂+h,y₃=y₂+F(x₂,y₂)h

……

xₙ=xₙ-₁+h,yₙ=yₙ-₁+F(xₙ-₁,yₙ-₁)h

在这里我们利用一个例子,对比一下线性化的估值效果和欧拉法的估值效果。已知函数 f(x) 是微分方程 y'=x+y 的一个解且 f(x) 图象经过点 (0,1) ,此时我想要找到 x=1处,f(1) 的一个近似值。如果利用线性化的方法,此时我们先找到 (0,1) 这一点的切线斜率,把x=0和y=1带入到微分方程 y'=x+y 中进行计算可得 f'(0)=1 , 切线方程为 y=x+1 , 此时f(1) ≈2 ,如下图所示。

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线性化估x=1的函数值示意图

但是从图象中我们也可以看出,在x=1时,真正的 f(1) 大约在3.5左右,利用线性化估值的误差较大,估值效果并不好。

那如果我们利用欧拉法估值用该怎么做呢?首先我们可以先让步长 h=0.5,借助欧拉法的公式我们先估计出 f(0.5)≈f(0)+f'(0)*0.5=1+1*0.5=1.5 , 接下来我们利用上一步估计出的 f(0.5) 来估计 f(1) 的数值,即 f(1)≈f(0.5)+f'(0.5)*0.5=1.5+2*0.5=2.5,其中 f'(0.5) 的数值是利用微分方程 y'=x+y 得到的,此时的 x=0.5, y=1.5,因此 f'(0.5)=2 。

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欧拉法估x=1的函数值示意图

与利用线性化估值的结果作对比,我们会发现此时的 f(1) 估计值距离真实值更进一步,估值的误差要比之前更小。那如果我想让估值的误差更小呢?我们可以通过减小步长的取值来达到目的,下面两幅图分别展示了步长为0.25和0.1时,欧拉法的估值效果。

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欧拉法选取不同步值h的对比示意图

观察图象我们可以发现,当步长为0.25时,f(1) 的估计值比3小一点点,当步长为0.1时,f(1) 的估计值已经超过了3,距离真实值已经非常近了,这种使用折线来近似曲线的方法可以有效地减少估值带来的误差。

最后,我们一起来看一下2016年BC考试MCQ第26题,感受一下这一知识点在AP考试中是如何考察的。

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题干要求我们从x=2开始,利用欧拉法经过两个相等的步长估计x=2.4时的函数值。首先我们可以确定步长为(2.4-2)/2=0.2,因此,我们先估计x=2.2时的函数值,根据公式可得 f(2.2)≈f(2)+f'(2)*0.2=3+(-0.5)*0.2=2.9。

接下来我们利用f(2.2)估计f(2.4),即 f(2.4)≈f(2.2)+f'(2.2)*0.2=2.9+(-0.3)*0.2=2.84。

最后,我们一起来看一下CB官方在AP微积分考试大纲中对该知识点的说明:AP微积分考纲要求我们能够掌握利用微分方程并借助欧拉法对函数在某一点处的函数值进行估算 

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AP考纲对欧拉法的考点说明

希望本文的内容能够帮助大家掌握这个考点,同学们只要能够理解欧拉法的具体计算步骤,在这一考点上便不会遇到太大的挑战。

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来源:TD AP教研组 AP考试研习社

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