2021年北美微积分AB的FRQ真题为例,物体变速直线运动部分知识总结和考点分析

物体的变速直线运动作为每年AP微积分必考的知识点,也同样是很多同学的痛点所在。公式过多,概念不清等等都是大家在这处知识点失分的主要原因。

所以今天我们以2021年最新的北美微积分AB的FRQ真题为例,进行微积分AB中物体变速直线运动部分的知识总结和考点分析。

首先,我们需要对物体的运动状态进行分类。在微积分AB的考察中,所有的物体都是横平竖直沿着x轴或y轴进行运动的,所以运动方向均为水平运动或垂直运动。在此类运动中,物体变速直线运动就仅仅考察4个知识点:

1) 关系问题2) 运动方向3) 增减问题

4) 位移&路程

因篇幅原因,我们会分成2次讨论以上内容。这篇文章中,我们先介绍前2个。

1.关系问题

在物体的运动中,我们将见到三个函数:position function位置函数、velocity function速度函数以及acceleration function加速度函数。那么考察的关系就是这三个函数之间的关系。

1. 导数关系

position function一般用x(t)或者y(t)来表示,表明的是在时间t时物体的所在位置。例如x(3)=2,就表示在时间t=3时,物体位于x轴上的(2,0)点;y(4)=5,就表示在时间t=4时,物体位于y轴上的(0,5)点。那么我们对位置函数进行求导,求位置相对于时间的变化率,得到的结果就是velocity速度。因此除了位置函数可以求变化率,对速度同样可以求变化率,因此对velocity求导得到的就是acceleration加速度。加速度指的就是速度对时间t的变化率。因此又由于,所以对position求二阶导就相当于对velocity求一阶导,结果都是加速度。所以。

以上可以对第1个关系:导数关系,进行一个总结:

 

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2. 积分关系

既然可以从求导角度推下去,自然就可以从反导,也就是积分的角度推回来。所以我们对a(t)求积分,就可以得到v(t)中有t存在的表达式,但并不是真正的v(t)。

为什么会这么说呢?因为求积分我们只能得到与原函数平行的函数簇,也就是general solution,还需要限定原函数过某个点才能得到particular solution,这才是真正的v(t)。我们对v(t)求积分也可以得到与x(t)平行的函数簇,也是同理的。

因此我们可以对第2个关系——积分关系进行如下总结:

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 3. velocity速度与speed速率直接的关系

要知道,速度是一个vector矢量/向量,即既有大小又有方向的量,例如:向左以3m/s的速度运动。

而我们生活中常说的“速度七十迈”等,实际上表述的都是speed速率。speed就是一个标量,即仅有大小没有方向的量。所以我们也可以把speed看作是|velocity|,仅保留velocity的大小,而不看它的方向,也就是物体的speed速率了。

所以综合看来,第1个知识点中的3对关系如下:

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接下来我们一起看一下在真题中的考察方式,以2021年微积分AB北美FRQ第2题为例:

 

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FRQ第2题a问

题目中给了两个物体P和Q的velocity function,并给出了在t=0时P与Q的初始位置。第1问求在t=1时P与Q所在的位置,这道题考察的就是知识点1:关系问题。由于已知速度函数和初始位置,那么只要计算出从t=0到t=1物体的位移,自然可以求出在t=1时物体的所在位置。

 

参考答案如下:

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a小问官方答案scoring guideline

 

这一小问共3分,使用定积分得1分,两个位置各1分,我们发现掌握上面总结的知识点后,列出计算式并不难,最后计算器算出就能全部拿分.

2.运动方向

关于物体的运动方向,一般只会考察物体是向左/右运动,或者向上/下运动。因此运动方向就仅与velocity的正负有关。

由于velocity是既有大小又有方向的矢量,而velocity的方向指的就是物体的运动方向,所以当v>0时,物体向正方向运动;当v<0时,物体向负方向运动;当v=0时,物体原地不动。

我们继续以真题为例,继续来看这道第2题的b小问:

 

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FRQ第2题b问

第2问需要考生回答在t=1时,两个物体P和Q是相向而行还是相背而行,并给出解释和分析。很明显,这就是考察第2个知识点-运动方向的问题。

想要做出判断,我们不仅需要知道P和Q的运动方向,还需要考虑到在t=1时P和Q的位置关系,因为不同的位置关系会得到不同的答案。

所幸第1问我们已经计算过了两个物体在t=1时的位置,可以直接使用。此外再计算出t=1时P和Q的velocity的正负,即可判断出当时两个物体的运动方向。

 

参考答案如下:

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b小问官方答案scoring guideline

这一问只占2分,物体运动方向1分,解释两物体的相对运动1分,所以如果没有考虑到t=1时的物体位置,也是可以至少得到1分的。

本次我们先讲解前2个知识点,同学们也可以利用这两个知识点对真题中的题目进行练习。对题目考点进行归类并集中刷题,是非常有效探明知识考察方式的方法。本文文末会赠送给大家TD整理的《微积分AB十年FRQ真题册》,真题册中2018-FRQ-2;2017-FRQ-5-a/b;2016-FRQ-2-c/d等,都可以有针对性地对我们文中讲到的知识点进行练习。

关于物体变速直线运动剩下的2个知识点,我们下一篇文章将会继续介绍~祝同学们备考顺利。

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 TD AP教研组 AP考试研习社

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