2021年北美微积分AB的FRQ真题为例,物体变速直线运动第二弹:增减问题VS利用积分求路程和位移

讲解了物体变速直线运动的前2个知识点:关系问题以及物体运动方向问题,并以2021最新微积分AB北美FRQ的第2题为例进行了讲解。首先我们先来看一下前2个知识点的掌握情况。

第1个知识点:关系问题。这里我们需要掌握3对关系:

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这部分知识不仅会考察MCQ选择题,一般也会在FRQ的第1问中考察。

第2个知识点:运动方向问题中,我们需要知道物体的运动方向与velocity速度的正负有关,当v>0时,物体向正方向运动;当v<0时,物体向负方向运动;当v=0时,物体原地不动。

相信大家也已经对上次讲解的两个知识点进行了真题练习。那接下来,我们来看最后两个知识点。

3. 增减问题

这部分需要考虑两个量的增减,一是velocity,二是speed。对于velocity而言,由于它的导数是acceleration,所以加速度的正负就决定了速度的增减性。

当a>0时,v增加;当a<0时,v减少;当v=0时,v不增不减。考虑到实际含义也很好理解,由于加速度是速度的变化率,那么如果速度值越来越大increasing,加速度自然应该是正的,反之同理。

比较难理解的是speed的增减问题。由于speed=|velocity|,所以我们不妨将速度函数的图像做整体加绝对值的处理,得到speed的图像后自然可以轻松分辨何时为增,何时为减。又或者可以利用实际含义来考虑:

1. 当v>0且越来越大时,就是我们常说的“速度越来越快”,那么speed就是在增加的speed up,例如下图中「区间1、7」;反之如果v<0且越来越小,就是向反方向运动的“速度越来越快”,speed同样应该在增加speed up,例如下图中「区间4」。

2. 但如果当v>0且越来越小,即v>0且a<0,则这时物体运动也会越来越慢,所以speed在减少slow down,例如下图中「区间3」;反之如果v<0且a>0,物体向反方向运动但加速度的方向为正,物体也会运动得越来越慢slow down,例如下图中「区间5」。

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速度-时间图像分析速率speed的变化

所以综合看来可以总结如下:

Velocity的增减取决于acceleration的正负,a>0,v is increasing;a<0, v is decreasing。

Speed的增减取决于velocity和acceleration同号还是异号,若v、a同号,speed is increasing;若v、a异号,speed is decreasing。

接下来我们以真题第3问为例:

 

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FRQ第2题c问

 

第3问让考生求出物体Q在t=1时的加速度,并且问在t=1时速率speed的增减情况,考察了知识点1和3的内容。由于acceleration时velocity的导函数,所以利用计算器直接求物体Q在t=1时velocity的导函数值即可。

此外speed的增减需要考虑a与v是同号还是异号,因此还需要求出物体Q在t=1时的速度值。

答案如下:

 

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c小问官方答案scoring guideline

4. 利用积分求路程和位移

由于velocity是位置关于时间的变化率,因此我们对velocity在某个区间求定积分,就可以得到在区间时间内物体位置的变化量,即物体的位移Displacement。由于velocity是矢量,所以位移也是既有方向又有大小的矢量。例如:位移为-3就代表物体向负方向运动了3个单位长度。

而路程Displacement则是物体在某个区间一共运动了多远,无论是朝正方向还是朝反方向。由于路程没有方向,只有大小,所以路程毫无疑问是个标量,因此路程也可以看作对speed速率这个标量求在某个区间的定积分。

举个例子来区分一下位移和路程。小明参加学校的400m跑步比赛,往返跑进行,赛道长100m。所以小明从起点跑到终点的Distance路程就是400m,而Displacement位移则为0,因为小明从起点到终点的位置没有进行变化。

结合下图速度-时间图像,我们可以来直观理解一下用定积分求位移和路程的区别。

 

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利用速度图像中“面积”求位移和路程

注:V图像和x轴围的面积大小代表位移。位移有正负,A1、A3面积代表正位移,A2面积代表负位移(数值上,A1、A2、A3均是大于零)。

那么该物体从a到b的位移就是Displacement图片

而总路程就是Total distance图片

所以真题的最后一问也自然考察了关于知识点4的内容。

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FRQ第2题d问

第4问果然让考生求出物体P在某区间的总路程,我们直接利用计算器,对velocity的绝对值即speed,求积分即可。

 

答案如下:

 

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d小问官方答案scoring guideline

 

至此我们已经将Straight Line Motion部分的知识点和考点全部进行了梳理,同学们依旧可以对题目考点进行归类并集中刷题,这是非常有效探明知识考察方式的方法。

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物体变速直线运动在微积分AB和BC中都是每年必考的知识点,在AB中的占分更多,不仅会考察多道选择题,而且会必考一道FRQ大题。本文文末会赠送给大家TD整理的《微积分AB十年FRQ真题册》,真题册中例如2019-FRQ-2-c/d;2017-FRQ-5-c/d;2016-FRQ-2-a/b等,都可以有针对性地对本文中讲解到的知识点进行真题练习。

每年考察的形式虽然都有所变化,也不一定可以使用计算器完成,但整体均会围绕以上4个知识点进行。同学们在充分理解知识内容后,熟记相关公式,即可轻松获得这一部分的分数。祝愿大家都能取得理想的AP成绩。

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 TD AP教研组 AP考试研习社

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